数学的期待値は、$E(X)$ または $\mu_X$ と表され、確率変数の中心的傾向を示す基本的な指標です。これは繰り返し試行を行った場合の「長期平均」値を意味します。物理的には、確率分布の重心（質量中心）であり、すべての可能な結果に対して確率で重み付けされた和として計算されます。
正式な定義
離散型確率変数の場合、期待値は確率質量関数（PMF）に基づいて定義されます：
定義 3.1.1
確率変数 $X$ が離散型であるとする。このとき期待値は以下の通りである：
$$E(X) = \sum_{x \in R^1} x P(X = x) = \sum_{x \in R^1} x p_X(x)$$
定義 3.1.2
確率変数 $X$ が異なる値 $x_1, x_2, \dots$ をそれぞれ確率 $p_i$ で取るならば、
$$E(X) = \sum_i x_i p_i$$
無意識の統計学者の法則（LOTUS）
変換された確率変数 $g(X)$ の期待値を求めるには、まず $g(X)$ の確率密度関数を導出する必要はありません。
定理 3.1.1（LOTUS）
任意の関数 $g$ に対して、$g(X)$ の期待値は、関数の値を元の確率で重み付けした和になります：
$E(g(X)) = \sum_{x} g(x) P(X=x)$
基本的な性質
- 線形性（定理 3.1.2）： $E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)$。これは $X$ と $Y$ が従属であっても成り立ちます！
- 単調性（定理 3.1.4）： すべての結果 $s$ に対して $X(s) \le Y(s)$ が成り立つならば、$E(X) \le E(Y)$ となります。
- 独立性（定理 3.1.3）： 確率変数 $X$ と $Y$ が独立であれば、$E(XY) = E(X)E(Y)$ が成り立ちます。
例 3.1.6：指示関数
指示関数 $I_A$ について、事象 $A$ が起こるときは $X=1$、起こらないときは $X=0$ とすると：
$E(I_A) = (1)P(A) + (0)P(A^c) = P(A)$